我们已知边AE等于12
边EC等于18
所有的中线都已画出
我们看得出来是中线
它们与对边相交的交点
把对边平分
这边ED和CB分别与DC和BA相等
AF等于EF 所以F B D是中点
G就是质心
质心就是中线的交点
有关质心的第一个问题就是
这个三角形BGC的面积是多少
要算出三角形的面积
我们来回想一下质心的定义
质心是三角形三条中线的交点
它把三角形分成六个面积相等的小三角形
所以我们只要知道整个三角形的面积
就能算出小三角形的面积
我们来看看这个直角三角形
AE等于12
我们要用它乘以另一个直角边
EC等于18
所以三角形AEC的面积就是
1/2乘以底18和高12
得出结果是108
这就是整个大直角三角形AEC的面积
要得出小三角形BGC的面积
或者是任意一个小三角形的
或者更准确地说
由中线分割出来的任意一个小三角形
我们只要把整个三角形的面积除以6
因为我们之前已经证明过这六个三角形面积相等
所以三角形BGC的面积等于三角形AEC的1/6
就是108除以6
十位为1还余48
最终结果是18
验证一下18乘以6确实是108
所以我们知道这一部分面积是18
我们也可以知道
所有以中线为边的小三角形
都有同样的面积18
例如三角形FGE面积即是18
我们完成了三角形面积的计算
现在让我们看看下个问题
这条中线上较长的一边AG的长度是多少
我们先来回顾一下定义
三角形的质心是三条中线的交点
它是中线的一个三等分点
它把中线分为两条线段
这两条线段的比例是2:1
要求出AG的长度
我们只需要求出整条中线的长度
然后乘以2/3就行了
这里我们已经知道这是一个直角三角形
F和D是中点
我们已经知道AE等于12
这边调整了颜色的线段ED
长度就是18乘以1/2等于9
我们将要用这个ED来求中线的长度
根据勾股定理
AD是直角三角形的斜边
我们现在来看三角形AED
让我用笔来计算
我们知道
AD的平方等于
9的平方加上12的平方
12的平方144加上9的平方81
等于225
等于AD的平方
AD的平方为225
所以我们知道
AD等于15
因为我们要求的是边的长度
我们不考虑负数
所以我们只取正的平方根
AD只能等于15
这条边是15
我们之前已经证明过
三角形的质心是三条中线的交点
它把三条中线三等分
这里AG是中线上较长的一段
AG的长度就是AD的2/3
AG等于15乘以2/3
最后结果是10
AG的长度就是10
第二个问题就这样解决了
现在来看第三个问题
我们要求出这个加深颜色的三角FGH的面积
要求出三角形FGH的面积
我们只需要知道HG和FH的长度
这里我们可以用很多种方法
来求出HG和FH的长度
我们首先来回顾一下
HG是三角形FGE的高
HG也是三角形AFG的高
这两个三角形的底都是6
两个三角形底都是6
这条边和这条边是6
他们都有高GH
我们早已经知道三角形的面积
这个三角形的面积为18
我们就用这边这个三角形AFG为例
我们知道三角形的面积
等于底边和高相乘除以2
这边这个三角形AFG的面积
我们就可以用GH乘以AF
再除以2
最后得出的面积一定是18
通过计算得出
3乘以GH等于18
等式两边同除以3
得出GH等于6
这是一种方法来求边GH
我们也可以用同样的方法
只不过换一个三角形
我们来看这个大一点的三角形
这条边是斜边
它的长度是整条线段的2/3
这条边的长度就是9乘以2/3等于6
这是另外一种方法求GH
无论什么方法我们都得出GH等于6
我们现在来求FH的长度
我们只需知道AH的长度就可以得出FH的长度
我们已经知道AF等于6
FH就等于AH减去AF
所以我们要先求出AH长度
我们可以用与上面相同的方法来求AH
我们用严谨的方式来求AH
这个大的三角形和这个小的三角形
都有个直角
他们也有一个同样的非直角
他们有两个相同的角
所以他们是相似三角形
我们要求这两个三角形的相似比
AH比上AE等于AG比上AD
AE等于12 AG等于10
AD等于15
直接可以看出AH等于12的2/3
我们通过计算来演示一遍
运用相似三角形的性质
等号右边是2/3
两边同时乘以12
右边等于4
AH等于8 AF等于6
所以这里的FH等于2
现在我们有了足够的信息
用这些信息我们就可以求出三角形FGH的面积
让我写下来算
三角形FGH的面积等于
1/2乘以底FH再乘以高
我也可以用别的边做底
1/2乘以2乘以6
最后结果是6
运用这些方法
我们可以通过计算
算出几乎所有线段的长度
也可以用不同的方法
算出每一个区域的面积